Квашнин находился в Главном военном клиническом госпитале им. Н.Н. Бурденко. Медики делали все возможное, чтобы спасти генерала, но оказались бессильны, он скончался.
Анатолий Квашнин занимал руководящие должности в том числе в Объединенной группировке войск в Чечне, а также в войсках Северо-Кавказского военного округа.
Начальником Генерального штаба вооруженных сил России он был с 1997 по 2004 год. Последние годы занимал пост полномочного представителя президента РФ в Сибирском федеральном округе.