Квашнин скончался в Главном военном клиническом госпитале имени Бурденко в Москве. У него был коронавирус. «Такая информация по поводу Анатолия Васильевича.
Он месяц лежал с ковидом, состояние ухудшалось. Вчера ухудшилось настолько, что его перевезли в Бурденко и чуть ли не начали готовить к операции.
А ночью он скончался от инфаркта», — приводит "Gazeta.ru" слова источника в вооруженных силах. Квашнин возглавлял Генштаб вооруженных сил РФ с 1997 по 2004 год.
С сентября 2004 года по 2010 год занимал должность полномочного представителя Президента РФ в Сибирском федеральном округе..